Любимата задача на баща ми

Днес разказах на Божана любимата задача на баща ми.

Когато ми я постави за първи път бях приблизително на нейната възраст. Бяхме на плажа в Несебър. Понеже в началото на 1980-те не разполагахме с мобилни телефони, смятахме наум, а приближенията ни бяха по мярката единствено на здравия разум.

Прочее, ето какво гласи задачата:

Един ден царят на Индия повикал изобретателя на шахматната игра, за да му изкаже своите почитания. След като го обсипал с всевъзможни похвали, царят рекъл:

— Искам да откупя от теб тази велика игра. Кажи ми: колко пари искаш?

— Не искам никакви пари — отвърнал човекът. След което извадил дъската, разпънал я и рекъл:

— Ето какво искам: на първото квадратче да сложиш едно зрънце ориз. На второто — два пъти повече. А на третото — два пъти колкото на второто. И така — до последното квадратче.

Без дори да се замисли, царят викнал ковчежника си и рекъл:

— Дайте на човека десет чувала с ориз! Не: дайте му сто чувала! Това, което иска, и без това е незаслужено малко!

Изобретателят го погледнал право в очите и отвърнал кротко:

— Не, царю, не искам нито повече, нито по-малко. Искам точно толкова, колкото рекох.

И тъй, въпросът е ясен: колко точно ориз дължал царят на създателя на шаха?

* * *

“Кажи ми нещо и ще го забравя; обясни ми и ще го запомня; въвлечи ме и ще го науча”, е казал Бенджамин Франклин.

В тази задача човек трябва да бъде въвлечен.

Преди да подхванеш каквито и да е изчисления, просто се опитваш да си го представиш. Едно, две, четири, осем… Колко ориз може да се събере на 64 квадратчета? Един чувал? Един тон? Един вагон? Една влакова композиция?

След това разпъваме дъската.

Значи така: за всеки що-годе изкушен лаик в областта на математиката веднага става ясно, че си имаме работа със степени на числото две. (Не и за Божана, която е в четвърти клас и не е учила степенуване. Ала това се преодолява лесно, когато разполагаш с цялото й внимание.)

Понеже на първото квадратче има само едно зърно ориз, на последното има 2 на 63-та степен зрънца. Понеже на всички останали квадратчета има общо още толкова зрънца, колкото на 64-то (минус едно), можем да обобщим, че на дъската трябва да бъдат сложени 2 на 64-та минус едно зрънца. (За удобство можем да забравим за минус едното; нали тъй или иначе все нещо ще се разпилее на пода при разтоварването!)

След като изяснихме как да стигнем до отговора, можем да вземем в ръка мобилния телефон и да включим на режим “калкулатор”.

Макар съвременните калкулатори да разполагат с функция “степенуване” (скрита при обичайния режим на употреба), струва ми се, че за едно дете на девет и половина е по-подходящо просто да натисне 64 пъти знака за умножение и числото “2” още 64. Което всъщност си е достат сериозен физически труд. 🙂

Истината е, че за повечето от нас (изключвам занимаващите се с математика като професия или хоби) представата за число, означено като 2 на 64-та, е твърде мъглява.

След извършване на калкулацията, на екрана е изписано следното:

1.84467441Е+19

На по-прост език, това значи, че числото е с двайсет знака: единица с още 19 знака след нея. Ето така:

18,446,744,100,000,000,000

(За всеобщо удобство със запетаи разделям хилядите, по американски стандарт.)

Казано по-просто (или по-сложно, в зависимост от гледната точка): 18.5 квинтилиона, със закръглението.

* * *

Ала колко ориз е това, все пак? Каквото и да си говорим, едно зрънце е нищо работа! Пък и какво, по дяволите, е това нещо “квинтилион”? Как да го онагледим?

Ако трябва да бъда честен, точно в този момент оцених какво чудо е да разполагаш в ръцете си с цялата световна съкровищница от знания. Във вид на мобилен интернет.

Първо проверихме колко зрънца ориз има в един килограм. Въпреки разнообразието от сортове, интернет ни съобщи, че 50,000 е напълно разумно приближение.

Колко в тон, значи? Умножено по хиляда килограма — около 50 милиона зрънца.

Така. Така.

Сега трябва да решим в какво да ги насипваме.

Камиони? Не! Вагони!

Чудна идея!

Оказа се, че един покрит товарен вагон (американски, стандартен, от 4750 кубични фута) събира почти съвсем точно 100 метрични тона. (В интерес на истината, данните за вместимост са за количество соя; но за целите на това проучване подхождам с презумпцията, че при ориза не е чак толкова различно.)

Значи: 5 милиарда зрънца ориз в един вагон.

* * *

Сега започваме да нареждаме вагоните. Като на детско влакче.

Колко е дълъг един вагон? 57 фута и 6 инча, или 17 метра и половина, казва мрежата. От буфер до буфер.

(Само за сведение: вагонът е широк е 10′ 8″, или около 3.25 м, висок — 15′ 3″, или към 4.60 м.)

Нека предположим, че — въпреки очевидните технически затруднения — е възможно за целите на математиката да бъде изградена ЖП-линия т о ч н о върху екватора.

Както всички знаем от уроците по география, той е дълъг около 40,000 км. Дължина на вагона: 17.5 м. Означава, че са нужни

2,285,714 вагона,

за да обиколят целият екватор, без да бъде прекъсната композицията.

* * *

Сега умножаваме броя на вагоните по количеството зрънца във всеки един, за да видим колко ориз сме изразходили за една обиколка на екватора с вагони, допряни буфер до буфер.

5,000,000,000 х 2,285,714 =

11,428,570,000,000,000 зрънца.

11.5 квадрилиона.

Изглежда сравнително близко до количеството, което имаме на шахматната дъска.

Но не е.

Нека да разделим броя зрънца върху дъската на броя, нареден във вагони около екватора.

18,446,744,100,000,000,000 / 11,428,570,000,000,000 =

1614.090310, etc.

Което значи какво?

Значи, че ако нареждаме непрекъснати композиции с наличния ориз около екватора, можем да го обиколим 1614 пъти.

* * *

Общата дължина на композицията? 64.5 милиона километра.

До Венера са 40 милиона (в най-близката й до земята точка), а до слънцето — 147 милиона километра.

(С други думи, за да стигнем до слънцето все пак ще ни трябват малко по тесни вагони. Или малко по-ниски.)

* * *

А за колко ли години може да се произведе този ориз?

Да видим първо колко ориз произвежда Индия на година.

Според последни данни: около 100 милиона тона годишно, или приблизително 20% от световното производство.

Понеже вече знаем колко зрънца има в един тон (50 милиона), умножаваме двете числа:

50 млн х 100 млн =

5,000,000,000,000,000 зрънца (произвежда цяла Индия за една година).

Ние, обаче, разполагаме с доста повече. Делим! И става ясно, че при днешния й производствен капацитет, на Индия ще са необходими 3689 години, за да произведе оризът, необходим, за да се плати на изобретателя.

* * *

И понеже производството на Индия е 1/5-а от световното — ако вземем цялата световна продукция към края на 2018-а, ще са нужни 738 години, за да се произведе нужния ориз!

* * *

В интерес на историческата правдивост, обаче, трябва да отбележим, че (отново според световната мрежа) шахът е открит (по всяка вероятност именно в Индия; по-точно — с е в е р н а Индия) около 6-и век след Христа. С други думи, твърде неуместно е да се използва производственият капацитет на страната цели 1500 години по-късно.

Ала колко е произвеждала Индия тогава?

Оказа се, че на подобен въпрос дори и Интернет се затруднява да отговори.

Затова ние с Божана решихме да подходим по заобиколен път. А именно: да проучим как е нараствало населението на Индия през вековете — за да се ориентираме (с огромно приближение, разбира се) как е нараствал производствения капацитет на най-важния хранителен продукт в страната.

При обявяването на независимостта на Индия през 1947 населението на страната е било едва 300 милиона. Сиреч — през последните 70 години е нараснало ч е т и р и к р а т н о.

А как е нарастнало производството на ориз тогава? За наше щастие се оказа, че темповете са напълно сравними. През 1957-а година (най-ранните налични данни) производството е било около 25 милиона тона срещу днешните 100. Т о ч н о четирикратно увеличение!

Как, обаче, да научим какво е било населението на Индия през 6-и век?…

С малко повече ровене дори и на този въпрос се намира отговор. В мрежата са публикувани предположенията на двама уважавани британски учени. За шести век те са удивително близки: и двамата смятат, че по това време населението на Индия е наброявало около 75 милиона!

С други думи, за 1400 години между 6-и и 20-и век населението на Индия се е увеличило толкова, колкото и през последните 70 години! Ч е т и р и пъти.

* * *

И така, ако се абстрахираме от драматичните промени в земеделието през последните няколкостотин години и приложим същата формула за ориза както за населението, можем да предположим, че производството на ориз през 6-и век в Индия е било около 16 пъти по-ниско от днешното (при около 16 пъти по-малко население).

С други думи, на тогавашна Индия трябва да са били нужни около 25,000 години, за да произведе ориза, необходим, за да може царят да си уреди сметките със създателя на шаха.

* * *

Имайки предвид също така, че ориз се отглежда от около 8-10,000 години, както и темповете на развитие на земеделието в прединдустриалната епоха, можем с почти абсолютна сигурност да заключим, че световното производство на ориз откак свят светува до наши дни все още не е достатъчно, за да плати на човека.

Велика игра, наистина!

* * *

…Някъде в този момент Божана възкликна:

“Това вече е и моята любима задача!”

* * *

П.П. При днешните цени на ориза, възлизащи на около 450 долара на тон в страните-производителки, изобретателят на шаха би получил за стоката си малко над 166 трилиона долара.

Това е хиляда пъти повече от състоянието на най-богатия човек в света с момента — основателят на “Амазон” Джеф Безос.

Приблизително толкова е общият брутен вътрешен продукт на САЩ за последните 10 години. Сборно.

Всъщност, според доклад на “Креди Сюис” от края на 2018-а, общото световно богатство към момента се оценява на около 317 трилиона американски долара.

С други думи, след продажбата изобретателят на великата игра би притежавал около 52% от цялото световно богатство.

Ако, обаче, цената на ориза неочаквано се вдигне с 20% току преди продажбата, то след превръщането на зрънцата в долари той би имал почти два пъти по-голямо богатство от всички останали хора на земята, взети заедно.

Много е, спор няма. Дали е справедливо? Не знам. Но все ми се струва, че човек като него би се възползвал от подобно богатство по неочаквано ползотворен начин… ❤

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s